第(1/3)頁

    在【超限序數(shù)】這一數(shù)學(xué)理論體系中，存在著所謂的三類條件。

    一、反自反：

    即，如果a≤b，且b≤a，則a=b。

    二、傳遞性：

    即，如果a≤b，且b≤，則a≤。

    三、完備性：

    若a≤b或者b≤a，那么便不存在無法比較的情況。

    事實上，一切知性生靈所知的自然數(shù)范疇到實數(shù)范疇內(nèi)的‘≤’都符合這些性質(zhì)。

    這些性質(zhì)，也正是奠定各類集合間【全序關(guān)系】的基礎(chǔ)。

    至于所謂的全序關(guān)系，便是集合層面上的比大小操作。(詳見580章)

    任意兩個良序集合，假若可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。

    那么，就可以說其是【同序數(shù)】。

    其實不僅僅是序數(shù)，在龐大的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，亦存在著大量類似通過某種一一對應(yīng)的變換，來建立兩個對象性質(zhì)相似性的定義。

    其名稱，也與‘同序數(shù)’這一概念頗為近似。

    譬如同構(gòu)，同態(tài)等等等等。

    如果要將【同序數(shù)】這一概念，再進(jìn)行一番更為細(xì)致也更為形象的比喻性描述，那么就可以用【銀河霸主】這一大境界來作例子。

    在銀河霸主大境之中，若以實力高低為憑，從最低的一階開始一路往上數(shù)。

    二階、三階、四階……一直數(shù)到最高的十階頂尖霸主。

    那么這套力量等級體系，就共計擁有十個階數(shù)。

    其按照實力高低，從小到大就構(gòu)成了一個良序集。(良序集定義詳見580章)

    與此同時，自然數(shù)從1到10也能構(gòu)成一個良序集。

    顯然，銀河霸主一～十階，與自然數(shù)1～10，是可以一一對應(yīng)的。

    并且這兩者的對應(yīng)結(jié)構(gòu)，也是保持了順序的。

    所以，就可以說【銀河霸主】等級體系，與自然數(shù)1到10的這個集合，為【同序數(shù)】。

    也可以更簡單的說成，序數(shù)是10。

    由此推及到更大的層次，那么全體自然數(shù)，顯然也能構(gòu)成一個全序集，或者說一個良序集。

    只是，其并非有限集，而是無窮集。

    這個無窮集，就是最小的超限序數(shù)w，亦是穆蒼初登無窮之際的實力層次。

    當(dāng)然，只是祂初登無窮時的層次。

    至于現(xiàn)在的穆蒼，則早已遠(yuǎn)遠(yuǎn)凌駕在了w級數(shù)之上不知凡幾。

    可是w……就已然是切切實實的無窮大。

    對于無窮大，還能怎樣超越呢？

    答案是，可以超越。

    只不過，需要打開腦洞，展開一場思維風(fēng)暴。

    開始！

    提問，怎樣在自然數(shù)集合w中，通過增加一個元素，來得到一個更高階更巨大的超限序數(shù)呢？

    乍一想，這好像是無法做到的。

    因為在自然數(shù)集合w中，已經(jīng)存在了無窮多個元素。

    若想要再加入一個元素，同時還要保持w良序集的性質(zhì)，這又該往哪里加呢？

    先不要思考答案，可以將這個問題翻轉(zhuǎn)一下。

    翻轉(zhuǎn)之后即是……能否從全體自然數(shù)w中，拿走足夠多的元素，用來構(gòu)造一個更小的無窮序數(shù)呢？

    只要稍微思考一下，便會知曉這一問題和【希爾伯特旅館悖論問題】十分相似，或者說大差不差，都屬于是對無窮集合的思考與討論。

    總之，即便從全體自然數(shù)集合w中拿走任意多的元素，可只要還剩下無窮多個元素，那么w便還是與全體自然數(shù)同序數(shù)。

    既然問題已經(jīng)翻轉(zhuǎn)過了，那么現(xiàn)在，就將結(jié)論也翻轉(zhuǎn)一次吧。

    翻轉(zhuǎn)之后便是，往w中添加任意多元素，是毫無意義的。

    即便加了，得到的也依然是與自然數(shù)集合同等大小的序數(shù)集。

    所以，現(xiàn)在應(yīng)該要怎么做呢？

    要怎樣做才能突破w，到達(dá)那更高階的無窮大層次呢？

    很簡單，在全體自然數(shù)【末尾】，添加一個元素。

    可是，全體自然數(shù)有無窮多個，要如何操作，才能在其按照常理根本就不可能存在的所謂【末尾】，添加上一個元素呢？

    注意，這就是【超限序數(shù)】理論中的關(guān)鍵點。

    至關(guān)重要！

    如果能夠理解這一關(guān)鍵點，能夠理解如何〖在全體自然數(shù)末尾添加一個元素〗這一操作。
    第(1/3)頁