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    至于超巨大基數到底有多么巨大，這便又是一個較為復雜的問題了。

    首先，其與超緊致基數之間，就存在有諸多龐大的高階大基數。

    譬如，毗鄰超緊致基數「比較近」的一個大基數，即是可擴展基數。

    這一大基數的根本定義和數理結構，則是……若一個基數δ被稱為可擴展的，那么它對于每個λ＞δ，都將存在一個e＜λ的初始段vλ，以及一個從vλ到ve的元素嵌入映射π，繼而滿足π(δ)=δ且π不是恒等映射這一結果。

    這一數理定義用大白話來講，便是意味著可擴展基數能夠「伸展」到比它自身更小的宇宙模型當中，同時又保持一定的自身結構特性。

    非常神奇。

    另外，所謂的「可擴展性」，恰恰就是「強緊湊性」的二階類比。

    同時，除卻可擴展基數以外。

    超巨大基數之下還赫然存在著巨大基數、殆巨大基數，以及沃彭卡原理。

    所謂沃彭卡原理，即是與集合論、范疇論、模型論密切相關的一種重要數學原理。

    其主要內容簡單概括起來，即是對于一些語言的任意真類結構，都存在一個初等嵌入，可以嵌入至另一個真類結構內的成員中。

    因此，通過這一原理可以導出一系列關于真類結構與初等嵌入的性質。

    這些性質，又會關系到不可達基數和它們在模型理論當中的種種應用。

    接著蒞立于沃彭卡原理之上的，便是殆巨大基數。

    理論上來講，若一個基數k為殆巨大基數，那么對于任何的正則基數λ＞k，就都會存在一個λ-完全的超濾子u在pk(λ)上，繼而使得對于任何x?pk(λ)。

    同時，若x在u中是成立的，那么亦會存在一個函數f:λ→k，繼而使得對于任何a<λ，x中都會存在y，進而使得ynxa=?，并且f「y?xa。

    可以說，這種殆巨大基數的性質之強大，甚至可以讓其能夠推出并證明，像是可測基數、強基數、超緊基數等等諸多「更小」大基數的性質與一致性強度。

    而位于殆巨大基數之上，與超巨大基數之下的巨大基數，其數理本質則是……v中存在的一個初等嵌入j:v→m從v到一個具有臨界點k的可傳遞內模型。

    這其中所提到的「初等嵌入」概念，簡單來說，便是定義在兩個集合論域間的一種映射。

    或者說，初等嵌入即是一種能夠保持集合結構的函數，它不僅保持元素之間的關系，還會保持邏輯形式的關系。

    舉例說明，給定兩個集合m和n，若存在一個映射j：m→n，使得對于任意m中的公式φ和參數a，m中φ[a]成立當且僅當n中φ[j(a)]成立，那么便可稱j是一個從m到n的初等嵌入。

    至于巨大基數的數理結構，便是假若a是一個極限序數，使得a＞0，那么便可以說一個不可數的正則基數k是a-巨大的。

    同時，若存在一個基數〈k?:β＜a〉這樣的遞增序列，那么對于所有的β＜a即是vk??vk。

    隨后，如果n＞1，以及〈β?:i＜n〉是一個小于a的序數的遞增序列，那么β?≠0，這對于所有的β"＜β?，就都存在一個初等嵌入j:vk?????vk????，和臨界點k?"與j(k?")=k??與j(k??)=k????。

    爾后，若0≤i
    臨界點k"
    在此，便終于可引入超巨大基數概念了——

    即，若一個基數k是k-巨大的，就可稱其為超巨大基數。

    更進一步說，一個基數k被稱為超巨大，如果存在一個從vk到vk的初等嵌入，那么其中vk就是所有秩小于或等于k的集合所組成的巨大邏輯模型。

    而超巨、巨大、殆巨三者的關系，則便是——若k是巨大基數，就存在一個位于k上的正規超濾子u，使得{a
    與此同時，在到達了巨大基數以及超巨大基數的層面后，亦會與名為i3、i2、i1與i0的這幾個公理產生密切關聯。

    所謂公理i3，便是：存在vλ到自身的非平凡基本嵌入；

    至于公理i2，是：v存在一個非平凡基本嵌入到包含vλ的傳遞類m，λ為臨界點上方的第一個不動點；

    公理i1，則是：vλ+1到自身的非平凡基本嵌入；

    公理i0，即是：存在l(vλ+1)的非平凡基本嵌入，其臨界點<λ公理。
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