第(1/3)頁(yè) “接下來(lái),我要講的,便是我從希門主、從歌庭派的工作當(dāng)中學(xué)習(xí)得的最重要的概念!形式化。” 王崎這話一出口,算君的眉頭就多出一道溝壑。 而在他身后,更多的少黎派算家?guī)缀醭鲭x的憤怒了。 算主希柏澈一生當(dāng)中有無(wú)數(shù)的成就。但是,他在算學(xué)本質(zhì)的看法之上卻廣為人詬病,絕大多數(shù)算家都難以接受。 在算主看來(lái),算學(xué)的本質(zhì),就是“形式”。單獨(dú)的符號(hào)不存在任何意義。那些符號(hào)排列的“形式”才是算學(xué)。 這就好比說(shuō)“1+1=2”這個(gè)最初公式里,“1”、“+”、“=”、“2”這幾個(gè)符號(hào)都是無(wú)意義的,而只有那個(gè)完整等式在具有數(shù)學(xué)意義。 而另一邊,歌庭派的諸多算家也心情復(fù)雜。他們臉上露出了詭譎的表情,夾雜著迷惘、憤怒。 “形式”的理念包含了一致性、完備性、可判定性。可謂是算主希柏澈、一生的理想喻最大的追求。 而否定這份理想的,正是王崎本人。 王崎使用算主的思路,否決了算主的追求,也否定了歌庭派數(shù)十年的努力。 但是,這種種復(fù)雜的心緒并沒有影響到王崎。 王崎明白,現(xiàn)在他代表的,不是他自己,而是“正確”。 自我指涉并不是一個(gè)數(shù)學(xué)的描述——它確實(shí)是屬于邏輯,但是否屬于數(shù)學(xué)還有待商榷,并非是所有的數(shù)學(xué)家都承認(rèn)這一點(diǎn)。地球也好,神州也好,都有這樣的跡象。 “這一陳述無(wú)法證明”,并非狹義上的數(shù)學(xué)陳述。 哥德爾證明方法的第二步,就是將這個(gè)非數(shù)學(xué)的陳述或者說(shuō)準(zhǔn)數(shù)學(xué)的陳述,轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)的陳述。 地球?qū)⒅Q為——“哥德爾數(shù)化”。 ——或許在神州,它會(huì)叫做“王崎數(shù)化”吧? “一般人在理解這不完備的時(shí)候,很容易就陷入一重重自我參照的迷霧之中。難以自拔。我猜想,這大約是與康前輩的對(duì)角線證法、無(wú)窮基數(shù)違反我等天生直覺有關(guān)。也正是這一重原因,所以千百年來(lái),我們的前輩們才會(huì)對(duì)這一重道理視而不見。” “而非要解開這一重迷霧。就必須使用這種形式化的方法。” 王崎雙手放出金光,幻化出重重光幕,無(wú)數(shù)算符在上面飛舞,排列,羅列著一個(gè)偉大的證明。 哥德爾證明不完備定理的第二部分。也是其最偉大的部分,就在這里。 “任何公理系統(tǒng),所運(yùn)用的算符,所能夠存在的公理,都是有限的。因此,這些公理、這些算符所能夠羅列出的陳述,也必定是可數(shù)的——無(wú)窮可數(shù)、道元數(shù)零、自然數(shù)的個(gè)數(shù)。就是這么描述的。” “而這些有可能的陳述,其長(zhǎng)度也必然是可數(shù)的。而既然還在可數(shù)無(wú)窮的范疇之內(nèi),我們就可以用自然數(shù)給它編號(hào)。每一個(gè)編號(hào)都是獨(dú)一無(wú)二的。” “然后,我們就可以建立一個(gè)集合‘中天’。這個(gè)集合‘中天’,便是包括了所有有可能陳述的‘編號(hào)’。一個(gè)公理系統(tǒng)之內(nèi),所有有可能的陳述,都必定在這個(gè)編號(hào)之內(nèi)。” …… 講道進(jìn)行到這里的時(shí)候,已經(jīng)開始脫離絕大多數(shù)人所能夠理解的范疇了。什么“可數(shù)無(wú)窮”,什么“基數(shù)”、“序數(shù)”。這些都已經(jīng)超過(guò)他們的理解范疇了。 第(1/3)頁(yè)