第404章 最貪的選擇-《學霸從改變開始》
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陳舟明顯愣了一下。
這是一上來,就考自己嗎?
從幾何角度研究非交換環?
真要說起來,對于非交換環,陳舟還是有些看法的。
非交換環的一個最常見的例子,或許就是矩陣了。
利用矩陣可以得到一批非交換環的反例。
就好像,若s是包含在環r內的相應維數為無窮的域。
那么a=re_11+re_12+se_22,是左noether與左artin的。
但不是右noerther與右artin,這說明了鏈條件在非交換環中有左與右的差別。
在除環上的所有矩陣的有限直積,構成了所謂的半單環類。
這就是通常所說的wedderburn-artin定理。
這也是非交換環中第一個精彩的結構定理。
更加有趣的是,它通過矩陣的對稱結構,自然說明了左半單環等價于右半單環。
在交換環中,最常見的兩個根分別是jacobson根與冪零根。
前者簡稱為大根,它是所有極大理想的交。
后者簡稱為素根或小根,它是所有素理想的交。
而在非交換的情形中,一個根就可能分化為三個根,滿足某類條件左、右理想以及理想的交。
事實上,非交換環r,所有極大左理想的交,恰恰就是所有極大右理想的交。
并且它們良好的繼承了相應的可逆性質。
因此就稱其為非交換環的jacobson根,也記作rad(r)。
盡管非交換環中有左與右的區別,但也不乏此類殊途同歸的有趣現象。
而在交換代數中,由于局部化技術的廣泛使用,局部環成為了一個研究的焦點。
但非交換環的局部環技術,似乎受到了限制。
反倒是特別在乎半局部環。
值得注意的是,非交換環中對半局部環的定義,并非是指它只有有限個極大左理想。
而是定義為r/rad(r)是半單環或者是artin環。
事實上,半局部環r的各(雙邊)理想均包含rad(r),可以化歸為artin環r/rad(r)中的極大理想,因此至多只有有限多個。
但對于左理想的情形,就必須補充條件“r/rad(r)可交換”。
否則可以考慮域上的矩陣代數,它是半局部的,卻可能有無窮多個極大左理想。
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