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    陳舟明顯愣了一下。

    這是一上來，就考自己嗎？

    從幾何角度研究非交換環？

    真要說起來，對于非交換環，陳舟還是有些看法的。

    非交換環的一個最常見的例子，或許就是矩陣了。

    利用矩陣可以得到一批非交換環的反例。

    就好像，若s是包含在環r內的相應維數為無窮的域。

    那么a=re_11+re_12+se_22，是左noether與左artin的。

    但不是右noerther與右artin，這說明了鏈條件在非交換環中有左與右的差別。

    在除環上的所有矩陣的有限直積，構成了所謂的半單環類。

    這就是通常所說的wedderburn-artin定理。

    這也是非交換環中第一個精彩的結構定理。

    更加有趣的是，它通過矩陣的對稱結構，自然說明了左半單環等價于右半單環。

    在交換環中，最常見的兩個根分別是jacobson根與冪零根。

    前者簡稱為大根，它是所有極大理想的交。

    后者簡稱為素根或小根，它是所有素理想的交。

    而在非交換的情形中，一個根就可能分化為三個根，滿足某類條件左、右理想以及理想的交。

    事實上，非交換環r，所有極大左理想的交，恰恰就是所有極大右理想的交。

    并且它們良好的繼承了相應的可逆性質。

    因此就稱其為非交換環的jacobson根，也記作rad(r)。

    盡管非交換環中有左與右的區別，但也不乏此類殊途同歸的有趣現象。

    而在交換代數中，由于局部化技術的廣泛使用，局部環成為了一個研究的焦點。

    但非交換環的局部環技術，似乎受到了限制。

    反倒是特別在乎半局部環。

    值得注意的是，非交換環中對半局部環的定義，并非是指它只有有限個極大左理想。

    而是定義為r/rad(r)是半單環或者是artin環。

    事實上，半局部環r的各（雙邊）理想均包含rad(r)，可以化歸為artin環r/rad(r)中的極大理想，因此至多只有有限多個。

    但對于左理想的情形，就必須補充條件“r/rad(r)可交換”。

    否則可以考慮域上的矩陣代數，它是半局部的，卻可能有無窮多個極大左理想。
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