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淺談物理和數(shù)學(xué)的關(guān)系
各門科學(xué)中，物理與數(shù)學(xué)關(guān)系最親，可以說，數(shù)學(xué)是物理學(xué)最鐵的鐵哥們。其它科學(xué)，如：生物學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等等，如果沒有數(shù)學(xué)幫忙，還都能大差不差的過得去，唯獨(dú)物理學(xué)，如果沒有數(shù)學(xué)的話，那簡直一天日子都過不下去。當(dāng)初，要不是牛頓發(fā)明了微積分，他的三大力學(xué)定律和萬有引力定律，就很難唱得出精彩的戲來。
盡管，數(shù)學(xué)家不是一心想去物理學(xué)家去攀親戚，他們多半時間象是山里的隱士，讓自己的頭腦在邏輯天空中盡情翱翔，對凡塵的事置之度外。
然而，物理學(xué)家的日子可沒有那樣瀟灑，他們必須在第一線打拼。有時實在沒轍，就去求教數(shù)學(xué)家，猶如當(dāng)年三顧茅廬的劉玄德。你還別說，數(shù)學(xué)家家手頭還往往有現(xiàn)成的錦囊妙計。
當(dāng)年，愛因斯坦一心想根據(jù)慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等的原理，搞一個引力理論，然而，一連苦思冥想了好多年，都毫無進(jìn)展。讓他苦惱的是，在引力作用下，空間會發(fā)生扭曲，而歐幾里得幾何學(xué)卻對此毫無辦法。后來，幸好他的好友格羅斯曼告訴他，法國數(shù)學(xué)家黎曼研究出的一套幾何學(xué)，應(yīng)該能幫他解決煩惱。果然，愛因斯坦有了黎曼幾何這一有力武器后，就順順當(dāng)當(dāng)?shù)慕⒘藦V義相對論。
另一件有趣的事是發(fā)生在量子力學(xué)建立的初期。當(dāng)時，德國青年科學(xué)家海森堡為了解決微觀問題，獨(dú)創(chuàng)了一種代數(shù)。在這門代數(shù)中，乘法交換律不再成立，也就是說， A乘B不等于B乘A。初看起來似乎有點(diǎn)匪夷所思。然而，數(shù)學(xué)家一眼就看出，不過是早已有之的矩陣代數(shù)而已。于是，海森堡把自己的力學(xué)稱為矩陣力學(xué)，與此同時，奧地利科學(xué)家薛定諤開發(fā)了一套波動力學(xué)。后來，薛定諤證明了，矩陣力學(xué)和波動力學(xué)數(shù)學(xué)上是同一回事。今天，就都被稱為量子力學(xué)了。
而今天，物理學(xué)家們高度重視對稱性問題，而研究對稱性的群論，早就在數(shù)學(xué)家手中盤得滾瓜爛熟了。隨著物理學(xué)的進(jìn)展，概念越來越抽象，一天天向數(shù)學(xué)靠攏。當(dāng)年，拉格朗日出版了一本力學(xué)專著，從第一頁到最后一頁，沒有一張插圖，從頭到底都是數(shù)學(xué)公式。書中唱大戲的是一個被稱為“作用量”的量。任何第一次接觸到作用量的人都會滿臉疑惑，這作用量究竟是什么玩意兒：
能量嗎？——否也；
質(zhì)量？——否也；
力量？——否也。
那究竟是什么？——動能減勢能也。
依然疑問重重，動能減勢能又算是什么玩意兒？答曰，動能減勢能即為作用量。
總之，你休想用任何具體生動的概念去描畫它，作用量者，作用量也。盡管如此，它卻是一條再硬不過的死規(guī)定：任何物體在空間移動時，必定循著作用量改變最小的路徑走。這又是為什么？沒有道理可講，理解得執(zhí)行，不理解也得執(zhí)行，在執(zhí)行中理解，在執(zhí)行中增加感情。捧起數(shù)學(xué)書去啃吧，到時候，理解和感情自然會產(chǎn)生。
熱力學(xué)同樣又是一門高度抽象的物理學(xué)分支。熱力學(xué)里的那些熵、焓、自由能等等玩意兒，要多抽象有多抽象。難怪一位熱力學(xué)的教授說，“女孩子學(xué)這門課，常常會哭鼻子。”熱力學(xué)以三大定律為基礎(chǔ)，用狀態(tài)函數(shù)全微分、麥克斯韋爾偏微分關(guān)系，和可逆過程的路線積分等一連串?dāng)?shù)學(xué)，讓未來的工程師們頭暈?zāi)垦＃瑓s建立起一座宏偉的大廈，嚴(yán)謹(jǐn)程度不亞于歐幾里得幾何學(xué)。難怪，當(dāng)初波爾茲曼企圖把分子統(tǒng)計理論引進(jìn)熱力學(xué)時，遭到當(dāng)時熱力學(xué)權(quán)威的頑固抵制。在他們眼里，波爾茲曼是在往美麗宏偉的熱力學(xué)宮殿里亂撒灰塵，這還了得！
而電動力學(xué)里的電磁波，電場和磁場縱橫交錯波動，而且，在沒有載體的真空里照樣能興風(fēng)作浪。王安石曾解釋漢字的“波”為“水之皮”。顯然，他眼里反過來的意思就是，水乃波之肉也。按此方式思考，電磁波成了不附肉之皮了。個中之玄機(jī)，除了用數(shù)學(xué)公式，很難把握得了。
量子力學(xué)里，粒子既有微粒性又有波動性，更是日常生活難以想象的，也只有數(shù)學(xué)函數(shù)能說得清楚。所以，今天的許多基礎(chǔ)物理概念，常必須依靠數(shù)學(xué)來加以詮釋。或許，世界正如畢達(dá)哥拉斯所想象的那樣，是由數(shù)構(gòu)成的。但是，也別以為，物理學(xué)家的一切苦惱，數(shù)學(xué)家都能幫忙解決，事實遠(yuǎn)非如此。與物理學(xué)關(guān)系最密切的數(shù)學(xué)分支是微分方程，幾乎所有的物理學(xué)分支都與微分方程結(jié)下不解之緣。
同一個微分方程可以解答許多物理問題，也可以有無數(shù)多個解。有人會有疑問了，那么多的解，該選哪個好？其實，這倒不用擔(dān)心的，一旦把這個方程的初始條件和邊界條件拿準(zhǔn)了，這個方程的解也就定了下來。然而，當(dāng)今的數(shù)學(xué)家們往往只有在在十分理想的條件下，才能提供微分方程的嚴(yán)格解。對于邊界簡單的狀況，如：圓形、矩形等等，有時還能對付得過去。而實際情況往往要復(fù)雜得多，比如，建筑師會想出各種各樣的建筑外形來，越是怪異，他就越能出名。例如，澳大利亞的悉尼歌劇院的屋頂，真是要多就多美，可是，要想求得屋頂各處的受力情況，即使再等上一百年也未必能得到嚴(yán)格解。正如俗話說的，“文官動動嘴，武官跑斷腿。”出名的是建筑師，累死的是結(jié)構(gòu)師。這種情況下，要是沒有大型計算機(jī)，結(jié)構(gòu)師即使活活累死還是沒轍。實際山，計算機(jī)用的是一種求近似解的方法：將無窮小的微分用有限小的的差分，如：0.1，0.001或0.0001等來替代，然后一步步算過去。至于有限小差分到底選多小，就看你的計算耐心和每次計算的誤差了。今天，有了大型計算機(jī)，雖然都是近似值，但對于許多實際問題，精度完全是能做到的。建筑師盡管出難題，計算機(jī)和軟件都是現(xiàn)成的，方案一輸進(jìn)去，一會兒答案就會出來。許多其它科學(xué)和工程問題也同樣依靠這樣的方法來解決。
但是，也別以為有了計算機(jī)就萬事大吉了。有許多事，你即使把全世界巨型計算機(jī)都搬來都不頂用。比如，在研究高能物理的量子場論中，任何一個粒子都把自己的場一直延伸到無窮遠(yuǎn)處。計算機(jī)神通再大，也沒法從無窮遠(yuǎn)處一路算過來，再算過去。不過，數(shù)學(xué)家還有別的招術(shù)來求近似解，最常用的一種，是所謂的逐次迭代法。具體說來是這樣的，對于如下形式的這個方程：
X=f(X)……………………..(1)
先假設(shè)一個X0放進(jìn)方程(1)右邊，頂替X，于是就有:
X1=f(X0)
如果，X1恰好等于X0，那就萬事大吉，說明我們已經(jīng)求得了方程的解，那就是X=X0=X1，然而，天底下很少有這樣好的運(yùn)氣。那怎么辦？那就一步步如法炮制的替代下去：
X2=f(X1)
X3=f(X2)
……
Xn=f(Xn-1)
如果一次次計算的差距都在不斷縮小，當(dāng)Xn-Xn-1小到能夠滿足我們的精度要求時，我們就可以說，X基本上等于Xn或Xn-1，任務(wù)算是功德圓滿了。
這一套手法是研究量子場論的科學(xué)家最稱手的殺手锏，時時刻刻都拿在手里使用的，他們對每次迭代都作了相應(yīng)的物理解釋（注1）。物理學(xué)家費(fèi)曼還畫出力的傳遞粒子的路線圖，來代表每次迭代過程，這些圖被稱為費(fèi)曼圖。
話說到這里，一定有人來責(zé)問了，“您怎么能保證一次次代下去，差距越來越小，而不會越來越大？ ”一點(diǎn)不假，差距變得越來越大的例子多得數(shù)不過來。這里，不妨舉一個最普通的代數(shù)問題為例：
X2 -- 10X = 0
只要學(xué)過初中一年級代數(shù)，都知道這個代數(shù)式通過因式分解，就成為：
X（X--10）= 0
于是，一眼就可以看出，這個方程有兩個根，一個是X=0，另一個是X=10。現(xiàn)在，我們把這個方程式轉(zhuǎn)換成（1）的形式：
X=X2/10 (2)
現(xiàn)在，來看看逐次迭代能得到什么結(jié)果。 我們隨便取一個數(shù)作為X0，例如，令X0=1，代入方程（2）的右邊，于是，可以一連串得到：
X1= 0.1
X2=0.001
X3=0.000001
顯然，以非常快的速度，一路向根X=0 奔去，我們應(yīng)該對此感到非常滿意。可是，問題又來了，還有一個根X=10 呀，那又該咋辦？是不是我們一開頭取的X0=1離它太遠(yuǎn)了點(diǎn)？好，我們重新取X0=9，看看情況又會如何。迭代的幾次結(jié)果是：
X1= 8.1
X2=6.56
X3=4.3
…….
同樣是一路向X=0那個根奔，卻對X=10毫不理會。 或許，我們把X0取小了，取大一點(diǎn)的，比如X0=11，又會怎么樣呢？
情況如下：
X1= 12.1
X2=14.6
X3=21.3
…….
好家伙，居然把根X=10拋在腦后，一路往無窮大狂飆了，X=10在這里似乎成了討厭鬼，大家都不愿跟它沾邊。看來，逐次迭代法并不是招招都靈。其實，什么時候逐次迭代法可以一展身手，什么時候行不通，數(shù)學(xué)家們是早就有了判斷的辦法了（注2）。
可是，高能物理學(xué)家們對這個問題似乎不太放在心上，他們的場方程在第一次迭代后效果很好，可是，才進(jìn)行第二次迭代，就出現(xiàn)了無窮大，于是，他們想方設(shè)法搞了個無窮大減無窮大，居然也能得到令人滿意的結(jié)果。他們把這個過程稱為重整化。數(shù)學(xué)家們看了只能直搖頭。可是，既然效果那么好，還管那么多干嗎呢。 讓數(shù)學(xué)家最頭疼的是所謂的“非線性”問題。何謂非線性呢？簡而言之，如果變量X在方程里只以一次式出現(xiàn)，那就是線性的，反之，如出現(xiàn)X2或1/X等項目，那就是非線性的了。
一旦遇到非線性問題，數(shù)學(xué)家在絕大多數(shù)情況下沒法可想，物理學(xué)家也只能絞盡腦汁提出一些簡化模型來對付。 其實，量子場論力的方程還只能算是半線性的，廣義相對論的引力方程是百分百的非線性。當(dāng)初，愛因斯坦把它搞出來后，不由得愁上心頭，這樣一個非線性方程，何年哪月能找到它的一個嚴(yán)格解啊？可是，前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家弗里德曼沒讓愛因斯坦愁太久，就找到了一個解，以后，宇宙大爆炸、黑洞…等等一系列熱鬧問題登場了。
引力方程畢竟是研究宇宙的，與我們老百姓日常生活幾乎毫無關(guān)系。但是，有一個與我們天天密切相關(guān)的問題，卻也是百分百的非線性，這就是被稱為，奈維—斯托克斯方程的流體力學(xué)方程。
非線性方程不僅難以求得嚴(yán)格解，另一個難纏的是，它往往有不止一個解，還會象泥鰍似的在不同解之間游來蕩去。我們?nèi)粘？吹降牟粩嘧兓牧魉y，或無風(fēng)時的裊裊青煙，都反映了這種情況。 絕大多數(shù)流體力學(xué)問題，指望不上數(shù)學(xué)家，只能硬拼實驗。于是，一座座大規(guī)模風(fēng)洞建立起來。可是，風(fēng)洞再大也沒法把整架空客或波音這樣巨型客機(jī)塞進(jìn)去。流體力學(xué)家們想到了一些經(jīng)驗放大的辦法。他們引入了一些被稱為“無因次數(shù)”的量，這些量都沒有任何計量單位。第一個這樣的無因次量叫做雷諾數(shù)，計算式子很簡單：
雷諾數(shù)=特征長度*流體速度*流體密度/黏度
（這里的特征長度根據(jù)具體情況而定，可以是管子的直徑，也可以是機(jī)翼的寬度）。
參與雷諾數(shù)里各個量的單位會全部抵消，于是，雷諾數(shù)就沒了單位。不管你用什么單位制計算，得出數(shù)值都是一樣的，比如，你用國際標(biāo)準(zhǔn)的厘米.克.秒制，算出的雷諾數(shù)是1000，你用英制的英尺.磅.秒來計算的話，得到的雷諾數(shù)同樣也是1000（注3）。同樣的雷諾數(shù)，即使其它狀況大不相同，往往會出現(xiàn)同樣的現(xiàn)象。例如，無論管子直徑多粗或多細(xì)，也不管是液體還是氣體，只要雷諾數(shù)于2300時，管子里的流體都會規(guī)規(guī)矩矩的作平行流動，而當(dāng)雷諾數(shù)大于10000時，管子里的流體就呈紊亂流動狀態(tài)，在2300至10000之間，則是過渡狀態(tài)。這樣一來，就可以作為依據(jù)，把實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行放大了。謝天謝地，否則，要建造大型水電站或巨型油輪時，我們需要做多大規(guī)模的實驗?zāi)模?/p>
可是，如果你仔細(xì)注意一下雷諾數(shù)的公式的話，會發(fā)現(xiàn)一個很奇怪的現(xiàn)象，流體力學(xué)模型的實驗不是按比例縮小的。譬如，為了研究一根直徑巨大管道里流體流動的概況，建一個1/10大小的小管子模型，然而，實驗時不是讓小管子里的流速等于大管子里流速的1/10，而是，必須等于大管子里流速的10倍！
很讓人奇怪吧？似乎一點(diǎn)道理都沒有。可是，雷諾數(shù)等無因次數(shù)適用范圍非常廣，不但包括各種各樣的液體，同樣還包括各種各樣的氣體。在航空、航海、水文、石油化工，熱工等各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。這些行業(yè)里的工程師們無不知道大名鼎鼎的雷諾數(shù)，而沒幾個人能回憶得起那個奈維—斯托克斯方程來，盡管，大學(xué)時代老師或許曾經(jīng)略略提起過。 莫斯科不相信眼淚，流體力學(xué)不需要數(shù)學(xué)。
注解： （注1） 量子場論方程左端常是些線性算子，而右端是一些非線性組合。進(jìn)行逐次迭代時，先找到與左端線性算子及其邊值條件相應(yīng)的格林函數(shù)，然后，將原來的微分方程轉(zhuǎn)換成等價的積分方程。這個積分方程具有方程（1）的形式，于是，就可以進(jìn)行逐次迭代了。
（注2） 數(shù)學(xué)中有一個稱為列普希茲條件的判斷式。滿足了這個條件，方程就存在唯一的解，可以，用逐次迭代法不斷逼近。
（注3） 黏度指不同流動速度的流體之間的拖動力量，其單位是克/（厘米*秒）。從平時生活中常遇到的一些現(xiàn)象，可以得到比較直觀的概念。例如，水的黏度比較小，而液體膠水的黏度就很大。
雷諾數(shù)=長度*速度*密度/黏度，相應(yīng)的單位是：
(Cm * cm/sec * g/cm3)/(g/ cm*sec)
結(jié)果，單位全部抵銷。
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